1° Parcial · Tema 1C · Matemática 51

La función lineal. La pendiente de la recta que pasa por $(1, -5)$ y $(7, 1)$ es

Entonces $f(x) = x + b$, y como $f(1) = -5$: $1 + b = -5 \iff b = -6$. Así, $f(x) = x - 6$.

Verificación: $f(1) = -5$ y $f(7) = 1$.

El conjunto A. Resolvemos la inecuación:

(Al dividir por $36 > 0$ la desigualdad no cambia de sentido.)

Respuesta: $A = \left[ -\dfrac{1}{6}, +\infty \right)$.

Factorizamos cada paréntesis:

Entonces $f(x) = (x - 5)(x + 5)(x - 7)^2$, con ceros en $x = -5$, $x = 5$ y $x = 7$.

El factor $(x - 7)^2$ es positivo para todo $x \neq 7$ y vale $0$ en $x = 7$. Por lo tanto, $f(x) > 0$ exactamente cuando $x^2 - 25 > 0$ y $x \neq 7$.

$x^2 - 25 > 0 \iff x^2 > 25 \iff |x| > 5 \iff x < -5$ o $x > 5$.

Sacando $x = 7$:

Respuesta: $C^{+} = (-\infty, -5) \cup (5, 7) \cup (7, +\infty)$.

Dominio. El denominador se anula cuando $24 - 4x = 0 \iff x = 6$. Entonces $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{6\}$.

Ceros. Un cociente vale $0$ cuando el numerador es $0$ (y el denominador no):

y en $x = \dfrac{1}{12}$ el denominador vale $24 - \dfrac{4}{12} = \dfrac{71}{3} \neq 0$. Entonces $C^{0} = \left\{ \dfrac{1}{12} \right\}$.

Asíntota vertical. En $x = 6$ el denominador se anula y el numerador vale $1 - 72 = -71 \neq 0$, así que $\displaystyle \lim_{x \to 6} |f(x)| = +\infty$. Asíntota vertical: $x = 6$.

Asíntota horizontal.

Asíntota horizontal: $y = 3$. (Al ser un cociente de polinomios de grado 1, no hay asíntotas oblicuas.)

Respuesta: $C^{0} = \left\{ \dfrac{1}{12} \right\}$; asíntota vertical $x = 6$ y asíntota horizontal $y = 3$.

La composición. $h(x) = g\big(f(x)\big) = g(x - 5)$:

Dominio. El logaritmo necesita argumento positivo:

(Equivalentemente: $x \in \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}$ y $f(x) = x - 5 \in \operatorname{Dom}(g) = (-3, +\infty)$, o sea $x - 5 > -3 \iff x > 2$.)

Respuesta: $h(x) = \ln(2x - 4) - 4$, con $\operatorname{Dom}(h) = (2, +\infty)$.