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En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta. Se debe resolver a partir del enunciado, no de las respuestas. Marcar con una cruz en la respuesta correcta en cada caso.
Ejercicio 1
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Escribir el conjunto A = { x ∈ R / 2 3 − x > 0 } A = \left\{ x \in \mathbb{R} / \dfrac{2}{3 - x} > 0 \right\} A = { x ∈ R / 3 − x 2 > 0 }
( 2 ; 3 ) (2;3) ( 2 ; 3 ) ∅ \emptyset ∅ ( − ∞ ; 3 ) (-\infty;3) ( − ∞ ; 3 ) ( 3 ; + ∞ ) (3;+\infty) ( 3 ; + ∞ )
Ver solución (sin revisar) El numerador 2 2 2
2 3 − x > 0 ⟺ 3 − x > 0 ⟺ x < 3. \frac{2}{3 - x} > 0 \iff 3 - x > 0 \iff x < 3 . 3 − x 2 > 0 ⟺ 3 − x > 0 ⟺ x < 3. (En x = 3 x = 3 x = 3
Entonces A = ( − ∞ ; 3 ) A = (-\infty;3) A = ( − ∞ ; 3 ) Opción correcta: ( − ∞ ; 3 ) (-\infty;3) ( − ∞ ; 3 )
Ejercicio 2
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Sea f ( x ) = a ( x 2 − 10 x + 30 ) f(x) = a(x^2 - 10x + 30) f ( x ) = a ( x 2 − 10 x + 30 ) a ∈ R a \in \mathbb{R} a ∈ R f f f [ 20 ; + ∞ ) [20;+\infty) [ 20 ; + ∞ )
a = − 2 a = -2 a = − 2 a = 4 a = 4 a = 4 a = 10 a = 10 a = 10 a = 5 a = 5 a = 5
Ver solución (sin revisar) Completamos cuadrados en el paréntesis:
x 2 − 10 x + 30 = ( x − 5 ) 2 + 5. x^2 - 10x + 30 = (x - 5)^2 + 5 . x 2 − 10 x + 30 = ( x − 5 ) 2 + 5. Como ( x − 5 ) 2 (x-5)^2 ( x − 5 ) 2 [ 0 ; + ∞ ) [0;+\infty) [ 0 ; + ∞ ) ( x − 5 ) 2 + 5 (x-5)^2 + 5 ( x − 5 ) 2 + 5 [ 5 ; + ∞ ) [5;+\infty) [ 5 ; + ∞ )
Si a > 0 a > 0 a > 0 Im ( f ) = [ 5 a ; + ∞ ) \operatorname{Im}(f) = [5a;+\infty) Im ( f ) = [ 5 a ; + ∞ )
Si a < 0 a < 0 a < 0 Im ( f ) = ( − ∞ ; 5 a ] \operatorname{Im}(f) = (-\infty;5a] Im ( f ) = ( − ∞ ; 5 a ] [ 20 ; + ∞ ) [20;+\infty) [ 20 ; + ∞ )
Si a = 0 a = 0 a = 0 Im ( f ) = { 0 } \operatorname{Im}(f) = \{0\} Im ( f ) = { 0 }
Pedimos a > 0 a > 0 a > 0 5 a = 20 5a = 20 5 a = 20 a = 4 a = 4 a = 4
Verificación: f ( x ) = 4 ( x − 5 ) 2 + 20 f(x) = 4(x-5)^2 + 20 f ( x ) = 4 ( x − 5 ) 2 + 20 20 20 20 x = 5 x = 5 x = 5 Opción correcta: a = 4 a = 4 a = 4
Ejercicio 3
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Calcular lim x → 0 2 x 2 − 4 x x + 16 − 4 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 4x}{\sqrt{x + 16} - 4} x → 0 lim x + 16 − 4 2 x 2 − 4 x
− 32 -32 − 32 0 0 \dfrac{0}{0} 0 0 2 2 2 − 4 -4 − 4
Ver solución (sin revisar) Al reemplazar x = 0 x = 0 x = 0 0 0 \frac{0}{0} 0 0 x + 16 + 4 \sqrt{x+16} + 4 x + 16 + 4
2 x 2 − 4 x x + 16 − 4 = ( 2 x 2 − 4 x ) ( x + 16 + 4 ) ( x + 16 ) − 16 = x ( 2 x − 4 ) ( x + 16 + 4 ) x = ( 2 x − 4 ) ( x + 16 + 4 ) ( x ≠ 0 ) . \begin{aligned}
\frac{2x^2 - 4x}{\sqrt{x + 16} - 4}
&= \frac{(2x^2 - 4x)\left(\sqrt{x+16} + 4\right)}{(x + 16) - 16} \\
&= \frac{x\,(2x - 4)\left(\sqrt{x+16} + 4\right)}{x} \\
&= (2x - 4)\left(\sqrt{x+16} + 4\right) \qquad (x \neq 0).
\end{aligned} x + 16 − 4 2 x 2 − 4 x = ( x + 16 ) − 16 ( 2 x 2 − 4 x ) ( x + 16 + 4 ) = x x ( 2 x − 4 ) ( x + 16 + 4 ) = ( 2 x − 4 ) ( x + 16 + 4 ) ( x = 0 ) . Ahora sí podemos tomar el límite:
lim x → 0 ( 2 x − 4 ) ( x + 16 + 4 ) = ( − 4 ) ⋅ ( 4 + 4 ) = − 32. \lim_{x \to 0} (2x - 4)\left(\sqrt{x+16} + 4\right) = (-4)\cdot(4 + 4) = -32 . x → 0 lim ( 2 x − 4 ) ( x + 16 + 4 ) = ( − 4 ) ⋅ ( 4 + 4 ) = − 32. Opción correcta: − 32 -32 − 32
Ejercicio 4
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Sean f ( x ) = 4 x − 5 f(x) = 4x - 5 f ( x ) = 4 x − 5 g ( x ) = ln ( x ) + 3 g(x) = \ln(x) + 3 g ( x ) = ln ( x ) + 3 h ( x ) = g ∘ f ( x ) h(x) = g \circ f(x) h ( x ) = g ∘ f ( x ) h − 1 ( 3 ) h^{-1}(3) h − 1 ( 3 )
h − 1 ( 3 ) = 3 2 h^{-1}(3) = \frac{3}{2} h − 1 ( 3 ) = 2 3 h − 1 ( 3 ) = 2 3 h^{-1}(3) = \frac{2}{3} h − 1 ( 3 ) = 3 2 h − 1 ( 3 ) = 0 h^{-1}(3) = 0 h − 1 ( 3 ) = 0 h − 1 ( 3 ) = 1 h^{-1}(3) = 1 h − 1 ( 3 ) = 1
Ver solución (sin revisar) La composición es
h ( x ) = g ( f ( x ) ) = ln ( 4 x − 5 ) + 3 , Dom ( h ) = ( 5 4 ; + ∞ ) . h(x) = g(f(x)) = \ln(4x - 5) + 3, \qquad \operatorname{Dom}(h) = \left(\tfrac{5}{4};+\infty\right). h ( x ) = g ( f ( x )) = ln ( 4 x − 5 ) + 3 , Dom ( h ) = ( 4 5 ; + ∞ ) . h − 1 ( 3 ) h^{-1}(3) h − 1 ( 3 ) x x x h ( x ) = 3 h(x) = 3 h ( x ) = 3
ln ( 4 x − 5 ) + 3 = 3 ⟺ ln ( 4 x − 5 ) = 0 ⟺ 4 x − 5 = 1 ⟺ x = 3 2 . \ln(4x - 5) + 3 = 3 \iff \ln(4x - 5) = 0 \iff 4x - 5 = 1 \iff x = \frac{3}{2} . ln ( 4 x − 5 ) + 3 = 3 ⟺ ln ( 4 x − 5 ) = 0 ⟺ 4 x − 5 = 1 ⟺ x = 2 3 . Como 3 2 > 5 4 \frac{3}{2} > \frac{5}{4} 2 3 > 4 5 h − 1 ( 3 ) = 3 2 h^{-1}(3) = \frac{3}{2} h − 1 ( 3 ) = 2 3 Opción correcta: h − 1 ( 3 ) = 3 2 h^{-1}(3) = \frac{3}{2} h − 1 ( 3 ) = 2 3