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1° Parcial · Tema 3V · Matemática 51

Matemática 51· CBC · Cátedra única · Sede La Costa · 1C 2025

Fuente: Altillo.com

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En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.

Ejercicio 1

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Sea ff la función lineal cuyo gráfico que pasa por los puntos (1,9)(1, 9) y (5,1)(5, 1). Escribir al conjunto A={x∈R/f(x)<1}A = \{x \in \mathbb{R} / f(x) < 1\} como intervalo o unión de intervalos.

Ver solución (sin revisar)

La función. La pendiente de la recta que pasa por (1,9)(1, 9) y (5,1)(5, 1) es

m=1−95−1=−84=−2.m = \frac{1 - 9}{5 - 1} = \frac{-8}{4} = -2 .

Entonces f(x)=−2x+bf(x) = -2x + b, y como f(1)=9f(1) = 9: −2+b=9  ⟺  b=11-2 + b = 9 \iff b = 11. Así,

f(x)=−2x+11.f(x) = -2x + 11 .

Verificación: f(5)=−10+11=1f(5) = -10 + 11 = 1.

El conjunto. Resolvemos la inecuación:

−2x+11<1  ⟺  −2x<−10  ⟺  x>5.-2x + 11 < 1 \iff -2x < -10 \iff x > 5 .

Al dividir por −2-2, que es negativo, la desigualdad se invierte. (Tiene sentido: ff es decreciente y f(5)=1f(5) = 1, así que f(x)<1f(x) < 1 justo a la derecha de 55.)

Respuesta: A=(5,+∞)A = (5, +\infty).

Ejercicio 2

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Hallar los ceros de la función cuadrática ff cuyo gráfico tiene vértice en (2,36)(2, 36) y pasa por (1,35)(1, 35).

Ver solución (sin revisar)

Con vértice (2,36)(2, 36), la forma canónica es

f(x)=a(x−2)2+36,a≠0.f(x) = a(x - 2)^2 + 36, \qquad a \neq 0 .

Como pasa por (1,35)(1, 35):

f(1)=a(1−2)2+36=a+36=35  ⟺  a=−1.f(1) = a(1 - 2)^2 + 36 = a + 36 = 35 \iff a = -1 .

Entonces f(x)=−(x−2)2+36f(x) = -(x - 2)^2 + 36. Los ceros:

−(x−2)2+36=0  ⟺  (x−2)2=36  ⟺  ∣x−2∣=6  ⟺  x−2=6  o  x−2=−6.-(x - 2)^2 + 36 = 0 \iff (x - 2)^2 = 36 \iff |x - 2| = 6 \iff x - 2 = 6 \ \text{ o } \ x - 2 = -6 .

Es decir, x=8x = 8 o x=−4x = -4.

Verificación: f(8)=−36+36=0f(8) = -36 + 36 = 0 y f(−4)=−36+36=0f(-4) = -36 + 36 = 0.

Respuesta: los ceros de ff son x=−4x = -4 y x=8x = 8.

Ejercicio 3

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Sea f(x)=x+5x−7f(x) = \dfrac{x + 5}{x - 7}. Hallar f−1f^{-1} y el dominio de f−1f^{-1}.

Ver solución (sin revisar)

ff está definida para x≠7x \neq 7. Despejamos xx de y=x+5x−7y = \dfrac{x + 5}{x - 7}:

y(x−7)=x+5yx−7y=x+5yx−x=7y+5x(y−1)=7y+5x=7y+5y−1(y≠1).\begin{aligned} y(x - 7) &= x + 5 \\ yx - 7y &= x + 5 \\ yx - x &= 7y + 5 \\ x(y - 1) &= 7y + 5 \\ x &= \frac{7y + 5}{y - 1} \qquad (y \neq 1) . \end{aligned}

El valor y=1y = 1 no se alcanza: x+5x−7=1\dfrac{x + 5}{x - 7} = 1 llevaría a x+5=x−7x + 5 = x - 7, o sea 5=−75 = -7, absurdo. Por eso Im⁡(f)=R−{1}\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R} - \{1\}, y ese es el dominio de la inversa.

f−1(x)=7x+5x−1,Dom⁡(f−1)=R−{1}.f^{-1}(x) = \frac{7x + 5}{x - 1}, \qquad \operatorname{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R} - \{1\} .

Verificación: f−1(f(x))=7⋅x+5x−7+5x+5x−7−1=7(x+5)+5(x−7)(x+5)−(x−7)=12x12=xf^{-1}\big(f(x)\big) = \dfrac{7 \cdot \frac{x + 5}{x - 7} + 5}{\frac{x + 5}{x - 7} - 1} = \dfrac{7(x + 5) + 5(x - 7)}{(x + 5) - (x - 7)} = \dfrac{12x}{12} = x.

Respuesta: f−1(x)=7x+5x−1f^{-1}(x) = \dfrac{7x + 5}{x - 1}, con Dom⁡(f−1)=R−{1}\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R} - \{1\}.

Ejercicio 4

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Sea f(x)=4cos⁡(x)−2f(x) = 4\cos(x) - 2. Hallar los ceros de ff en el intervalo [π2;52π]\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{5}{2}\pi\right].

Ver solución (sin revisar)f(x)=0  ⟺  4cos⁡(x)−2=0  ⟺  cos⁡(x)=12.f(x) = 0 \iff 4\cos(x) - 2 = 0 \iff \cos(x) = \frac{1}{2} .

En una vuelta [0;2π)[0; 2\pi), el coseno vale 12\dfrac{1}{2} en x=π3x = \dfrac{\pi}{3} (primer cuadrante) y en x=2π−π3=5π3x = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3} (cuarto cuadrante). Todas las soluciones son x=π3+2kπx = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi y x=5π3+2kπx = \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi, con k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Ahora vemos cuáles caen en [π2;5π2]\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{2}\right]:

  • π3<π2\dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2}: queda afuera. Pero π3+2π=7π3\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3} sí está, porque 7π3=14π6<15π6=5π2\dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{14\pi}{6} < \dfrac{15\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{2}.
  • 5π3\dfrac{5\pi}{3} está, porque π2<5π3<5π2\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{5\pi}{3} < \dfrac{5\pi}{2}. Sumándole o restándole 2π2\pi se sale del intervalo.

Verificación: cos⁡(5π3)=cos⁡(7π3)=cos⁡(π3)=12\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}.

Respuesta: los ceros de ff en el intervalo son x=5π3x = \dfrac{5\pi}{3} y x=7π3x = \dfrac{7\pi}{3}.