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En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.
Ejercicio 1
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Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto A = { x ∈ R : 4 x − 5 x − 4 < 3 } A = \left\{x \in \mathbb{R} : \dfrac{4x - 5}{x - 4} < 3\right\} A = { x ∈ R : x − 4 4 x − 5 < 3 }
Ver solución (sin revisar) Dominio. El denominador se anula en x = 4 x = 4 x = 4 x ≠ 4 x \neq 4 x = 4
Pasamos todo a un lado. No multiplicamos por x − 4 x - 4 x − 4 x x x 3 3 3
4 x − 5 x − 4 − 3 < 0 ⟺ 4 x − 5 − 3 ( x − 4 ) x − 4 < 0 ⟺ 4 x − 5 − 3 x + 12 x − 4 < 0 ⟺ x + 7 x − 4 < 0. \frac{4x - 5}{x - 4} - 3 < 0 \iff \frac{4x - 5 - 3(x - 4)}{x - 4} < 0 \iff \frac{4x - 5 - 3x + 12}{x - 4} < 0 \iff \frac{x + 7}{x - 4} < 0 . x − 4 4 x − 5 − 3 < 0 ⟺ x − 4 4 x − 5 − 3 ( x − 4 ) < 0 ⟺ x − 4 4 x − 5 − 3 x + 12 < 0 ⟺ x − 4 x + 7 < 0. Signo del cociente. Un cociente es negativo cuando numerador y denominador tienen signos opuestos:
x + 7 > 0 x + 7 > 0 x + 7 > 0 x − 4 < 0 x - 4 < 0 x − 4 < 0 x > − 7 x > -7 x > − 7 x < 4 x < 4 x < 4 ( − 7 ; 4 ) (-7; 4) ( − 7 ; 4 ) x + 7 < 0 x + 7 < 0 x + 7 < 0 x − 4 > 0 x - 4 > 0 x − 4 > 0 x < − 7 x < -7 x < − 7 x > 4 x > 4 x > 4 Control: en x = 0 x = 0 x = 0 4 ⋅ 0 − 5 0 − 4 = 5 4 < 3 \dfrac{4 \cdot 0 - 5}{0 - 4} = \dfrac{5}{4} < 3 0 − 4 4 ⋅ 0 − 5 = 4 5 < 3 x = 5 x = 5 x = 5 15 1 = 15 ≮ 3 \dfrac{15}{1} = 15 \not< 3 1 15 = 15 < 3 x = − 8 x = -8 x = − 8 − 37 − 12 = 37 12 ≈ 3,08 ≮ 3 \dfrac{-37}{-12} = \dfrac{37}{12} \approx 3{,}08 \not< 3 − 12 − 37 = 12 37 ≈ 3 , 08 < 3
Respuesta: A = ( − 7 ; 4 ) A = (-7; 4) A = ( − 7 ; 4 )
Ejercicio 2
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Sea f ( x ) = − x 2 + 10 x − 24 f(x) = -x^2 + 10x - 24 f ( x ) = − x 2 + 10 x − 24 f f f
Ver solución (sin revisar) Ceros. Con la fórmula resolvente (a = − 1 a = -1 a = − 1 b = 10 b = 10 b = 10 c = − 24 c = -24 c = − 24
x = − 10 ± 10 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 24 ) 2 ⋅ ( − 1 ) = − 10 ± 100 − 96 − 2 = − 10 ± 2 − 2 , x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-24)}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 96}}{-2} = \frac{-10 \pm 2}{-2} , x = 2 ⋅ ( − 1 ) − 10 ± 1 0 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 24 ) = − 2 − 10 ± 100 − 96 = − 2 − 10 ± 2 , es decir, x 1 = 4 x_1 = 4 x 1 = 4 x 2 = 6 x_2 = 6 x 2 = 6 C 0 = { 4 ; 6 } C^0 = \{4; 6\} C 0 = { 4 ; 6 } f ( x ) = − ( x − 4 ) ( x − 6 ) f(x) = -(x - 4)(x - 6) f ( x ) = − ( x − 4 ) ( x − 6 )
Positividad. Es una parábola con a = − 1 < 0 a = -1 < 0 a = − 1 < 0
Intervalo Valor f ( x ) f(x) f ( x ) ( − ∞ ; 4 ) (-\infty; 4) ( − ∞ ; 4 ) x = 0 x = 0 x = 0 − 24 < 0 -24 < 0 − 24 < 0 ( 4 ; 6 ) (4; 6) ( 4 ; 6 ) x = 5 x = 5 x = 5 − 25 + 50 − 24 = 1 > 0 -25 + 50 - 24 = 1 > 0 − 25 + 50 − 24 = 1 > 0 ( 6 ; + ∞ ) (6; +\infty) ( 6 ; + ∞ ) x = 7 x = 7 x = 7 − 49 + 70 − 24 = − 3 < 0 -49 + 70 - 24 = -3 < 0 − 49 + 70 − 24 = − 3 < 0
Respuesta: C 0 = { 4 ; 6 } C^0 = \{4; 6\} C 0 = { 4 ; 6 } C + = ( 4 ; 6 ) C^+ = (4; 6) C + = ( 4 ; 6 )
Ejercicio 3
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Sean f ( x ) = 24 x − 7 a x + 4 f(x) = \dfrac{24x - 7}{ax + 4} f ( x ) = a x + 4 24 x − 7 g ( x ) = 2 x + 1 g(x) = 2x + 1 g ( x ) = 2 x + 1 a ∈ R a \in \mathbb{R} a ∈ R f ∘ g f \circ g f ∘ g y = 4 y = 4 y = 4
Ver solución (sin revisar) La composición.
( f ∘ g ) ( x ) = f ( 2 x + 1 ) = 24 ( 2 x + 1 ) − 7 a ( 2 x + 1 ) + 4 = 48 x + 17 2 a x + a + 4 . (f \circ g)(x) = f(2x + 1) = \frac{24(2x + 1) - 7}{a(2x + 1) + 4} = \frac{48x + 17}{2ax + a + 4} . ( f ∘ g ) ( x ) = f ( 2 x + 1 ) = a ( 2 x + 1 ) + 4 24 ( 2 x + 1 ) − 7 = 2 a x + a + 4 48 x + 17 . Asíntota horizontal. Si a = 0 a = 0 a = 0 48 x + 17 4 \dfrac{48x + 17}{4} 4 48 x + 17 a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 x x x
lim x → ± ∞ 48 x + 17 2 a x + a + 4 = lim x → ± ∞ 48 + 17 x 2 a + a + 4 x = 48 2 a = 24 a . \lim_{x \to \pm\infty} \frac{48x + 17}{2ax + a + 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{48 + \frac{17}{x}}{2a + \frac{a + 4}{x}} = \frac{48}{2a} = \frac{24}{a} . x → ± ∞ lim 2 a x + a + 4 48 x + 17 = x → ± ∞ lim 2 a + x a + 4 48 + x 17 = 2 a 48 = a 24 . Pedimos que valga 4 4 4
24 a = 4 ⟺ a = 6. \frac{24}{a} = 4 \iff a = 6 . a 24 = 4 ⟺ a = 6. Verificación: con a = 6 a = 6 a = 6 ( f ∘ g ) ( x ) = 48 x + 17 12 x + 10 (f \circ g)(x) = \dfrac{48x + 17}{12x + 10} ( f ∘ g ) ( x ) = 12 x + 10 48 x + 17 48 12 = 4 ≠ 17 10 \frac{48}{12} = 4 \neq \frac{17}{10} 12 48 = 4 = 10 17 y = 48 12 = 4 y = \frac{48}{12} = 4 y = 12 48 = 4
Respuesta: a = 6 a = 6 a = 6
Ejercicio 4
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Sea f ( x ) = 5 sen ( x ) − 5 f(x) = 5\operatorname{sen}(x) - 5 f ( x ) = 5 sen ( x ) − 5 x ∈ [ 0 ; 2 π ] x \in [0; 2\pi] x ∈ [ 0 ; 2 π ] f ( x ) = 0 f(x) = 0 f ( x ) = 0
Ver solución (sin revisar) 5 sen ( x ) − 5 = 0 ⟺ 5 sen ( x ) = 5 ⟺ sen ( x ) = 1. 5\operatorname{sen}(x) - 5 = 0 \iff 5\operatorname{sen}(x) = 5 \iff \operatorname{sen}(x) = 1 . 5 sen ( x ) − 5 = 0 ⟺ 5 sen ( x ) = 5 ⟺ sen ( x ) = 1. En [ 0 ; 2 π ] [0; 2\pi] [ 0 ; 2 π ] 1 1 1 x = π 2 x = \dfrac{\pi}{2} x = 2 π
(En general, sen ( x ) = 1 ⟺ x = π 2 + 2 k π \operatorname{sen}(x) = 1 \iff x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi sen ( x ) = 1 ⟺ x = 2 π + 2 k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z [ 0 ; 2 π ] [0; 2\pi] [ 0 ; 2 π ] k = 0 k = 0 k = 0
Verificación: f ( π 2 ) = 5 ⋅ 1 − 5 = 0 f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5 \cdot 1 - 5 = 0 f ( 2 π ) = 5 ⋅ 1 − 5 = 0
Respuesta: x = π 2 x = \dfrac{\pi}{2} x = 2 π