Mates con GermánBuscar

1° Parcial · Tema 1A · Matemática 51

Matemática 51· CBC · Cátedra única · Sede Ciudad Universitaria · 1C 2025

Fuente: Altillo.com

Sin revisar

Este examen todavía no lo revisó un docente: la transcripción y las soluciones pueden tener errores. Cada ejercicio indica qué ya está revisado. Si encontrás un error, avisame.

En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.

Ejercicio 1

Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error

Escribir como un intervalo o una unión de intervalos al conjunto A={x∈R:3x−8>5x}A = \{x \in \mathbb{R} : 3x - 8 > 5x\}.

Ver solución (sin revisar)

Resolvemos la inecuación:

3x−8>5x  ⟺  3x−5x>8  ⟺  −2x>8  ⟺  x<8−2=−4.3x - 8 > 5x \iff 3x - 5x > 8 \iff -2x > 8 \iff x < \frac{8}{-2} = -4 .

(Al dividir por −2<0-2 < 0, la desigualdad cambia de sentido.)

Control: con x=−5x = -5 queda 3(−5)−8=−23>−25=5(−5)3(-5) - 8 = -23 > -25 = 5(-5), que es cierto; con x=0x = 0 queda −8>0-8 > 0, que es falso.

Respuesta: A=(−∞;−4)A = (-\infty; -4).

Ejercicio 2

Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error

Hallar los ceros de la función cuadrática f(x)f(x) cuyo gráfico tiene vértice en (3,−5)(3, -5) y pasa por (5,15)(5, 15).

Ver solución (sin revisar)

La función. Con vértice (3,−5)(3, -5), la forma canónica es f(x)=a(x−3)2−5f(x) = a(x - 3)^2 - 5. Como pasa por (5,15)(5, 15):

15=a(5−3)2−5  ⟺  15=4a−5  ⟺  4a=20  ⟺  a=5.15 = a(5 - 3)^2 - 5 \iff 15 = 4a - 5 \iff 4a = 20 \iff a = 5 .

Entonces f(x)=5(x−3)2−5f(x) = 5(x - 3)^2 - 5.

Los ceros.

5(x−3)2−5=0  ⟺  (x−3)2=1  ⟺  x−3=1  o  x−3=−1  ⟺  x=4  o  x=2.5(x - 3)^2 - 5 = 0 \iff (x - 3)^2 = 1 \iff x - 3 = 1 \ \text{ o } \ x - 3 = -1 \iff x = 4 \ \text{ o } \ x = 2 .

Verificación: f(5)=5⋅4−5=15f(5) = 5 \cdot 4 - 5 = 15, f(2)=5⋅1−5=0f(2) = 5 \cdot 1 - 5 = 0 y f(4)=5⋅1−5=0f(4) = 5 \cdot 1 - 5 = 0.

Respuesta: C0={2,4}C^0 = \{2, 4\}.

Ejercicio 3

Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error

Sea f(x)=x+63x+4f(x) = \dfrac{x + 6}{3x + 4}. Hallar la función inversa f−1(x)f^{-1}(x) y dar su dominio.

Ver solución (sin revisar)

Despeje. Escribimos y=x+63x+4y = \dfrac{x + 6}{3x + 4} y despejamos xx (con x≠−43x \neq -\frac{4}{3}):

y(3x+4)=x+63xy+4y=x+63xy−x=6−4yx(3y−1)=6−4yx=6−4y3y−1(y≠13).\begin{aligned} y(3x + 4) &= x + 6 \\ 3xy + 4y &= x + 6 \\ 3xy - x &= 6 - 4y \\ x(3y - 1) &= 6 - 4y \\ x &= \frac{6 - 4y}{3y - 1} \qquad (y \neq \tfrac{1}{3}) . \end{aligned}

Si y=13y = \frac{1}{3}, la ecuación x(3y−1)=6−4yx(3y - 1) = 6 - 4y queda 0=6−43=1430 = 6 - \frac{4}{3} = \frac{14}{3}, que es imposible: 13\frac{1}{3} no está en la imagen de ff.

Entonces

f−1(x)=−4x+63x−1.f^{-1}(x) = \frac{-4x + 6}{3x - 1} .

Dominio. El dominio de f−1f^{-1} es la imagen de ff: 3x−1=0  ⟺  x=133x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{3}, así que Dom⁡(f−1)=R−{13}\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R} - \left\{\frac{1}{3}\right\}.

Verificación: f(0)=64=32f(0) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} y f−1 ⁣(32)=−6+692−1=0f^{-1}\!\left(\frac{3}{2}\right) = \dfrac{-6 + 6}{\frac{9}{2} - 1} = 0.

Respuesta: f−1(x)=−4x+63x−1f^{-1}(x) = \dfrac{-4x + 6}{3x - 1}, con Dom⁡(f−1)=R−{13}\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R} - \left\{\dfrac{1}{3}\right\}.

Ejercicio 4

Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error

Sea f(x)=4cos⁡(x)+3f(x) = 4\cos(x) + 3. Hallar todos los x∈[−2π;2π]x \in [-2\pi; 2\pi] tales que f(x)=5f(x) = 5.

Ver solución (sin revisar)4cos⁡(x)+3=5  ⟺  4cos⁡(x)=2  ⟺  cos⁡(x)=12.4\cos(x) + 3 = 5 \iff 4\cos(x) = 2 \iff \cos(x) = \frac{1}{2} .

En [0;2π][0; 2\pi], el coseno vale 12\frac{1}{2} en x=π3x = \frac{\pi}{3} y en x=2π−π3=53πx = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi. Todas las soluciones en R\mathbb{R} son

x=π3+2kπox=−π3+2kπ,k∈Z.x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z} .

Buscamos las que caen en [−2π;2π][-2\pi; 2\pi]:

  • x=π3+2kπx = \frac{\pi}{3} + 2k\pi: con k=0k = 0 da π3\frac{\pi}{3}; con k=−1k = -1 da −53π-\frac{5}{3}\pi. (k=1k = 1 da 73π>2π\frac{7}{3}\pi > 2\pi y k=−2k = -2 da −113π<−2π-\frac{11}{3}\pi < -2\pi.)
  • x=−π3+2kπx = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi: con k=0k = 0 da −π3-\frac{\pi}{3}; con k=1k = 1 da 53π\frac{5}{3}\pi. (k=−1k = -1 da −73π<−2π-\frac{7}{3}\pi < -2\pi y k=2k = 2 da 113π>2π\frac{11}{3}\pi > 2\pi.)

Verificación: cos⁡(±π3)=cos⁡(±53π)=12\cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\pm\frac{5}{3}\pi\right) = \frac{1}{2}, así que en los cuatro f(x)=4⋅12+3=5f(x) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 3 = 5.

Respuesta: x∈{−53π,−π3,π3,53π}x \in \left\{-\dfrac{5}{3}\pi, -\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5}{3}\pi\right\}.