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1° Parcial · Tema 4J · Matemática 51

Matemática 51· CBC · Cátedra única · Sede Paternal · 1C 2024

Fuente: Altillo.com

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En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.

Ejercicio 1

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Escribir como intervalo o unión de intervalos al conjunto A={x∈R/x+2x−6<2}A = \left\{x \in \mathbb{R} / \dfrac{x + 2}{x - 6} < 2\right\}

Ver solución (sin revisar)

Condición. El denominador no puede anularse: x≠6x \neq 6.

Pasamos todo a un lado. No multiplicamos por x−6x - 6 porque su signo depende de xx:

x+2x−6−2<0  ⟺  x+2−2(x−6)x−6<0  ⟺  −x+14x−6<0.\frac{x + 2}{x - 6} - 2 < 0 \iff \frac{x + 2 - 2(x - 6)}{x - 6} < 0 \iff \frac{-x + 14}{x - 6} < 0 .

Análisis de signos. Un cociente es negativo cuando numerador y denominador tienen signos distintos.

  • Caso 1: −x+14>0-x + 14 > 0 y x−6<0x - 6 < 0, o sea x<14x < 14 y x<6x < 6: da x<6x < 6.
  • Caso 2: −x+14<0-x + 14 < 0 y x−6>0x - 6 > 0, o sea x>14x > 14 y x>6x > 6: da x>14x > 14.

Control con valores de prueba: con x=0x = 0, 2−6=−13<2\frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} < 2 (sí está); con x=10x = 10, 124=3≮2\frac{12}{4} = 3 \not< 2 (no está); con x=15x = 15, 179<2\frac{17}{9} < 2 (sí está).

Respuesta: A=(−∞;6)∪(14;+∞)A = (-\infty; 6) \cup (14; +\infty).

Ejercicio 2

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Sea ff la función cuadrática cuyo gráfico tiene vértice V=(−4,75)V = (-4, 75) y f(2)=−33f(2) = -33. Hallar la fórmula de ff y su conjunto de ceros.

Ver solución (sin revisar)

Forma canónica. Con vértice V=(−4,75)V = (-4, 75):

f(x)=a(x+4)2+75.f(x) = a(x + 4)^2 + 75 .

Usamos f(2)=−33f(2) = -33:

−33=a(2+4)2+75  ⟺  −33=36a+75  ⟺  36a=−108  ⟺  a=−3.-33 = a(2 + 4)^2 + 75 \iff -33 = 36a + 75 \iff 36a = -108 \iff a = -3 .

Entonces f(x)=−3(x+4)2+75f(x) = -3(x + 4)^2 + 75 (desarrollada: f(x)=−3x2−24x+27f(x) = -3x^2 - 24x + 27).

Ceros.

−3(x+4)2+75=0  ⟺  (x+4)2=25  ⟺  x+4=5  o  x+4=−5  ⟺  x=1  o  x=−9.-3(x + 4)^2 + 75 = 0 \iff (x + 4)^2 = 25 \iff x + 4 = 5 \ \text{ o } \ x + 4 = -5 \iff x = 1 \ \text{ o } \ x = -9 .

Verificación: f(1)=−3⋅25+75=0f(1) = -3 \cdot 25 + 75 = 0 y f(−9)=−3⋅25+75=0f(-9) = -3 \cdot 25 + 75 = 0; además f(2)=−3⋅36+75=−33f(2) = -3 \cdot 36 + 75 = -33.

Respuesta: f(x)=−3(x+4)2+75f(x) = -3(x + 4)^2 + 75 y C0={−9;1}C^0 = \{-9; 1\}.

Ejercicio 3

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Sean f(x)=1x+3f(x) = \dfrac{1}{x} + 3, g(x)=x+1g(x) = x + 1 y h(x)=(g∘f)(x)h(x) = (g \circ f)(x). Dar las ecuaciones de todas las asíntotas de hh.

Ver solución (sin revisar)

La composición.

h(x)=g(f(x))=(1x+3)+1=1x+4,h(x) = g\big(f(x)\big) = \left(\frac{1}{x} + 3\right) + 1 = \frac{1}{x} + 4 ,

con Dom⁡(h)=R−{0}\operatorname{Dom}(h) = \mathbb{R} - \{0\}.

Asíntota vertical. Cuando x→0x \to 0, 1x\frac{1}{x} no está acotado: lim⁡x→0+h(x)=+∞\displaystyle \lim_{x \to 0^+} h(x) = +\infty y lim⁡x→0−h(x)=−∞\displaystyle \lim_{x \to 0^-} h(x) = -\infty. Asíntota vertical: x=0x = 0.

Asíntota horizontal. lim⁡x→±∞(1x+4)=0+4=4\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x} + 4\right) = 0 + 4 = 4. Asíntota horizontal: y=4y = 4.

Respuesta: asíntota vertical x=0x = 0 y asíntota horizontal y=4y = 4.

Ejercicio 4

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Sea f(x)=17ln⁡(x+6)f(x) = \dfrac{1}{7} \ln(x + 6). Hallar f−1f^{-1} y dar la imagen de f−1f^{-1}.

Ver solución (sin revisar)

Dominio e imagen de ff. El logaritmo pide x+6>0x + 6 > 0, o sea Dom⁡(f)=(−6;+∞)\operatorname{Dom}(f) = (-6; +\infty). Como ln⁡\ln toma todos los valores reales, Im⁡(f)=R\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}.

La inversa. Despejamos xx de y=17ln⁡(x+6)y = \frac{1}{7}\ln(x + 6):

7y=ln⁡(x+6)  ⟺  e7y=x+6  ⟺  x=e7y−6.7y = \ln(x + 6) \iff e^{7y} = x + 6 \iff x = e^{7y} - 6 .

Entonces f−1(x)=e7x−6f^{-1}(x) = e^{7x} - 6, definida en Dom⁡(f−1)=Im⁡(f)=R\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}.

Imagen de f−1f^{-1}. Es el dominio de ff. También se ve directamente: e7x>0e^{7x} > 0 para todo xx y toma todos los valores positivos, así que e7x−6>−6e^{7x} - 6 > -6.

Verificación: f(f−1(x))=17ln⁡(e7x−6+6)=17⋅7x=xf\big(f^{-1}(x)\big) = \frac{1}{7}\ln\big(e^{7x} - 6 + 6\big) = \frac{1}{7} \cdot 7x = x.

Respuesta: f−1(x)=e7x−6f^{-1}(x) = e^{7x} - 6, con Im⁡(f−1)=(−6;+∞)\operatorname{Im}(f^{-1}) = (-6; +\infty).