Este examen todavía no lo revisó un docente: la transcripción y las soluciones pueden tener errores. Cada ejercicio indica qué ya está revisado. Si encontrás un error, avisame .
En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.
Ejercicio 1
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Escribir como intervalo o unión de intervalos al conjunto A = { x ∈ R / 4 x − 18 x − 5 ≤ 3 } A = \left\{x \in \mathbb{R} / \dfrac{4x - 18}{x - 5} \leq 3\right\} A = { x ∈ R / x − 5 4 x − 18 ≤ 3 }
Ver solución (sin revisar) Dominio. La expresión no está definida en x = 5 x = 5 x = 5 x ≠ 5 x \neq 5 x = 5
Pasamos todo a un miembro. No conviene multiplicar por x − 5 x - 5 x − 5
4 x − 18 x − 5 − 3 ≤ 0 ⟺ 4 x − 18 − 3 ( x − 5 ) x − 5 ≤ 0 ⟺ x − 3 x − 5 ≤ 0. \frac{4x - 18}{x - 5} - 3 \leq 0 \iff \frac{4x - 18 - 3(x - 5)}{x - 5} \leq 0 \iff \frac{x - 3}{x - 5} \leq 0 . x − 5 4 x − 18 − 3 ≤ 0 ⟺ x − 5 4 x − 18 − 3 ( x − 5 ) ≤ 0 ⟺ x − 5 x − 3 ≤ 0. Análisis de signos. Un cociente es ≤ 0 \leq 0 ≤ 0 0 0 0 0 0 0
x − 3 ≥ 0 x - 3 \geq 0 x − 3 ≥ 0 x − 5 < 0 x - 5 < 0 x − 5 < 0 x ≥ 3 x \geq 3 x ≥ 3 x < 5 x < 5 x < 5 [ 3 ; 5 ) [3; 5) [ 3 ; 5 ) x − 3 ≤ 0 x - 3 \leq 0 x − 3 ≤ 0 x − 5 > 0 x - 5 > 0 x − 5 > 0 x ≤ 3 x \leq 3 x ≤ 3 x > 5 x > 5 x > 5 Control: x = 4 x = 4 x = 4 16 − 18 − 1 = 2 ≤ 3 \dfrac{16 - 18}{-1} = 2 \leq 3 − 1 16 − 18 = 2 ≤ 3 A A A x = 0 x = 0 x = 0 − 18 − 5 = 3,6 > 3 \dfrac{-18}{-5} = 3{,}6 > 3 − 5 − 18 = 3 , 6 > 3 x = 6 x = 6 x = 6 6 1 = 6 > 3 \dfrac{6}{1} = 6 > 3 1 6 = 6 > 3 x = 3 x = 3 x = 3 − 6 − 2 = 3 ≤ 3 \dfrac{-6}{-2} = 3 \leq 3 − 2 − 6 = 3 ≤ 3
Respuesta: A = [ 3 ; 5 ) A = [3; 5) A = [ 3 ; 5 )
Ejercicio 2
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Hallar la función polinómica de grado 3 cuyo gráfico pasa por los puntos ( − 1 , 0 ) (-1, 0) ( − 1 , 0 ) ( 3 , 0 ) (3, 0) ( 3 , 0 ) ( 6 , 0 ) (6, 0) ( 6 , 0 ) ( 4 , 40 ) (4, 40) ( 4 , 40 )
Ver solución (sin revisar) Los puntos ( − 1 , 0 ) (-1, 0) ( − 1 , 0 ) ( 3 , 0 ) (3, 0) ( 3 , 0 ) ( 6 , 0 ) (6, 0) ( 6 , 0 ) − 1 -1 − 1 3 3 3 6 6 6
f ( x ) = a ( x + 1 ) ( x − 3 ) ( x − 6 ) , a ≠ 0. f(x) = a(x + 1)(x - 3)(x - 6), \qquad a \neq 0 . f ( x ) = a ( x + 1 ) ( x − 3 ) ( x − 6 ) , a = 0. Hallamos a a a con el punto ( 4 , 40 ) (4, 40) ( 4 , 40 ) f ( 4 ) = 40 f(4) = 40 f ( 4 ) = 40
40 = a ( 4 + 1 ) ( 4 − 3 ) ( 4 − 6 ) = a ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ ( − 2 ) = − 10 a ⟺ a = − 4. 40 = a(4 + 1)(4 - 3)(4 - 6) = a \cdot 5 \cdot 1 \cdot (-2) = -10a \iff a = -4 . 40 = a ( 4 + 1 ) ( 4 − 3 ) ( 4 − 6 ) = a ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ ( − 2 ) = − 10 a ⟺ a = − 4. Respuesta: f ( x ) = − 4 ( x + 1 ) ( x − 3 ) ( x − 6 ) f(x) = -4(x + 1)(x - 3)(x - 6) f ( x ) = − 4 ( x + 1 ) ( x − 3 ) ( x − 6 )
(Desarrollada: f ( x ) = − 4 x 3 + 32 x 2 − 36 x − 72 f(x) = -4x^3 + 32x^2 - 36x - 72 f ( x ) = − 4 x 3 + 32 x 2 − 36 x − 72
Ejercicio 3
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sea f ( x ) = 2 x + 1 10 x − 4 f(x) = \dfrac{2x + 1}{10x - 4} f ( x ) = 10 x − 4 2 x + 1 f − 1 f^{-1} f − 1 f f f f − 1 f^{-1} f − 1 f − 1 f^{-1} f − 1
Ver solución (sin revisar) Dominio e imagen de f f f 10 x − 4 = 0 ⟺ x = 2 5 10x - 4 = 0 \iff x = \dfrac{2}{5} 10 x − 4 = 0 ⟺ x = 5 2 Dom ( f ) = R − { 2 5 } \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} - \left\{\dfrac{2}{5}\right\} Dom ( f ) = R − { 5 2 } y = 2 10 = 1 5 y = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} y = 10 2 = 5 1 Im ( f ) = R − { 1 5 } \operatorname{Im}(f) = \mathbb{R} - \left\{\dfrac{1}{5}\right\} Im ( f ) = R − { 5 1 }
La inversa. Planteamos y = 2 x + 1 10 x − 4 y = \dfrac{2x + 1}{10x - 4} y = 10 x − 4 2 x + 1 x x x
y ( 10 x − 4 ) = 2 x + 1 10 x y − 4 y = 2 x + 1 10 x y − 2 x = 4 y + 1 x ( 10 y − 2 ) = 4 y + 1 x = 4 y + 1 10 y − 2 . \begin{aligned}
y(10x - 4) &= 2x + 1 \\
10xy - 4y &= 2x + 1 \\
10xy - 2x &= 4y + 1 \\
x(10y - 2) &= 4y + 1 \\
x &= \frac{4y + 1}{10y - 2} .
\end{aligned} y ( 10 x − 4 ) 10 x y − 4 y 10 x y − 2 x x ( 10 y − 2 ) x = 2 x + 1 = 2 x + 1 = 4 y + 1 = 4 y + 1 = 10 y − 2 4 y + 1 . Entonces
f − 1 ( x ) = 4 x + 1 10 x − 2 , Dom ( f − 1 ) = Im ( f ) = R − { 1 5 } . f^{-1}(x) = \frac{4x + 1}{10x - 2}, \qquad \operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Im}(f) = \mathbb{R} - \left\{\frac{1}{5}\right\} . f − 1 ( x ) = 10 x − 2 4 x + 1 , Dom ( f − 1 ) = Im ( f ) = R − { 5 1 } . Verificación: f ( 0 ) = 1 − 4 = − 1 4 f(0) = \dfrac{1}{-4} = -\dfrac{1}{4} f ( 0 ) = − 4 1 = − 4 1 f − 1 ( − 1 4 ) = − 1 + 1 − 5 2 − 2 = 0 f^{-1}\left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{-1 + 1}{-\frac{5}{2} - 2} = 0 f − 1 ( − 4 1 ) = − 2 5 − 2 − 1 + 1 = 0
Asíntota vertical. El denominador de f − 1 f^{-1} f − 1 x = 1 5 x = \dfrac{1}{5} x = 5 1 4 ⋅ 1 5 + 1 = 9 5 ≠ 0 4 \cdot \dfrac{1}{5} + 1 = \dfrac{9}{5} \neq 0 4 ⋅ 5 1 + 1 = 5 9 = 0 lim x → 1 5 ∣ f − 1 ( x ) ∣ = + ∞ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{5}} \left|f^{-1}(x)\right| = +\infty x → 5 1 lim f − 1 ( x ) = + ∞
Respuesta: f − 1 ( x ) = 4 x + 1 10 x − 2 f^{-1}(x) = \dfrac{4x + 1}{10x - 2} f − 1 ( x ) = 10 x − 2 4 x + 1 f − 1 f^{-1} f − 1 x = 1 5 x = \dfrac{1}{5} x = 5 1
Ejercicio 4
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sean f ( x ) = 4 + ln ( x ) f(x) = 4 + \ln(x) f ( x ) = 4 + ln ( x ) g ( x ) = x − 5 g(x) = x - 5 g ( x ) = x − 5 h ( x ) = f ∘ g ( x ) h(x) = f \circ g(x) h ( x ) = f ∘ g ( x ) h ( x ) h(x) h ( x ) h h h
Ver solución (sin revisar) La composición. h ( x ) = f ( g ( x ) ) = 4 + ln ( g ( x ) ) h(x) = f\big(g(x)\big) = 4 + \ln\big(g(x)\big) h ( x ) = f ( g ( x ) ) = 4 + ln ( g ( x ) )
h ( x ) = 4 + ln ( x − 5 ) . h(x) = 4 + \ln(x - 5) . h ( x ) = 4 + ln ( x − 5 ) . El dominio. g g g R \mathbb{R} R
x − 5 > 0 ⟺ x > 5. x - 5 > 0 \iff x > 5 . x − 5 > 0 ⟺ x > 5. Verificación: h ( 6 ) = 4 + ln ( 1 ) = 4 h(6) = 4 + \ln(1) = 4 h ( 6 ) = 4 + ln ( 1 ) = 4 f ( g ( 6 ) ) = f ( 1 ) = 4 + ln ( 1 ) = 4 f\big(g(6)\big) = f(1) = 4 + \ln(1) = 4 f ( g ( 6 ) ) = f ( 1 ) = 4 + ln ( 1 ) = 4
Respuesta: h ( x ) = 4 + ln ( x − 5 ) h(x) = 4 + \ln(x - 5) h ( x ) = 4 + ln ( x − 5 ) Dom ( h ) = ( 5 ; + ∞ ) \operatorname{Dom}(h) = (5; +\infty) Dom ( h ) = ( 5 ; + ∞ )