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En cada ejercicio, escriba los razonamientos que justifican la respuesta.
Ejercicio 1
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Hallar la función cuadrática f f f C 0 = { − 1 , 2 } C_0 = \{-1, 2\} C 0 = { − 1 , 2 } [ − 1 ; + ∞ ) [-1; +\infty) [ − 1 ; + ∞ )
Ver solución (sin revisar) El vértice. Los ceros de una cuadrática son simétricos respecto del eje de simetría, así que la abscisa del vértice es el promedio de los ceros:
x v = − 1 + 2 2 = 1 2 . x_v = \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2} . x v = 2 − 1 + 2 = 2 1 . Como la imagen es [ − 1 ; + ∞ ) [-1; +\infty) [ − 1 ; + ∞ ) a > 0 a > 0 a > 0 y v = − 1 y_v = -1 y v = − 1
El coeficiente principal. Con los ceros escribimos f ( x ) = a ( x + 1 ) ( x − 2 ) f(x) = a(x + 1)(x - 2) f ( x ) = a ( x + 1 ) ( x − 2 ) f ( 1 2 ) = − 1 f\left(\frac{1}{2}\right) = -1 f ( 2 1 ) = − 1
a ( 1 2 + 1 ) ( 1 2 − 2 ) = a ⋅ 3 2 ⋅ ( − 3 2 ) = − 9 4 a = − 1 ⟺ a = 4 9 . a \left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} - 2\right) = a \cdot \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{4} a = -1 \iff a = \frac{4}{9} . a ( 2 1 + 1 ) ( 2 1 − 2 ) = a ⋅ 2 3 ⋅ ( − 2 3 ) = − 4 9 a = − 1 ⟺ a = 9 4 . Es positivo, como hacía falta.
La función. En forma factorizada, canónica y polinómica:
f ( x ) = 4 9 ( x + 1 ) ( x − 2 ) = 4 9 ( x − 1 2 ) 2 − 1 = 4 9 x 2 − 4 9 x − 8 9 . f(x) = \frac{4}{9}(x + 1)(x - 2) = \frac{4}{9}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 = \frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{9}x - \frac{8}{9} . f ( x ) = 9 4 ( x + 1 ) ( x − 2 ) = 9 4 ( x − 2 1 ) 2 − 1 = 9 4 x 2 − 9 4 x − 9 8 . Verificación: f ( − 1 ) = 4 9 ⋅ 9 4 − 1 = 0 f(-1) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} - 1 = 0 f ( − 1 ) = 9 4 ⋅ 4 9 − 1 = 0 f ( 2 ) = 4 9 ⋅ 9 4 − 1 = 0 f(2) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} - 1 = 0 f ( 2 ) = 9 4 ⋅ 4 9 − 1 = 0 f ( 1 2 ) = − 1 f\left(\frac{1}{2}\right) = -1 f ( 2 1 ) = − 1
Respuesta: f ( x ) = 4 9 ( x − 1 2 ) 2 − 1 = 4 9 ( x + 1 ) ( x − 2 ) f(x) = \dfrac{4}{9}\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - 1 = \dfrac{4}{9}(x + 1)(x - 2) f ( x ) = 9 4 ( x − 2 1 ) 2 − 1 = 9 4 ( x + 1 ) ( x − 2 )
Ejercicio 2
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sea f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 8 x f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 8 x f f f
Ver solución (sin revisar) Ceros. Sacamos factor común x x x
f ( x ) = x ( x 2 − 6 x + 8 ) . f(x) = x(x^2 - 6x + 8) . f ( x ) = x ( x 2 − 6 x + 8 ) . Para la cuadrática: x = 6 ± 36 − 32 2 = 6 ± 2 2 x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \dfrac{6 \pm 2}{2} x = 2 6 ± 36 − 32 = 2 6 ± 2 x = 4 x = 4 x = 4 x = 2 x = 2 x = 2
f ( x ) = x ( x − 2 ) ( x − 4 ) , f(x) = x(x - 2)(x - 4) , f ( x ) = x ( x − 2 ) ( x − 4 ) , con ceros simples en x = 0 x = 0 x = 0 x = 2 x = 2 x = 2 x = 4 x = 4 x = 4
Signo. Como f f f
Intervalo Valor f ( x ) f(x) f ( x ) Signo ( − ∞ ; 0 ) (-\infty; 0) ( − ∞ ; 0 ) x = − 1 x = -1 x = − 1 − 1 − 6 − 8 = − 15 -1 - 6 - 8 = -15 − 1 − 6 − 8 = − 15 − - − ( 0 ; 2 ) (0; 2) ( 0 ; 2 ) x = 1 x = 1 x = 1 1 − 6 + 8 = 3 1 - 6 + 8 = 3 1 − 6 + 8 = 3 + + + ( 2 ; 4 ) (2; 4) ( 2 ; 4 ) x = 3 x = 3 x = 3 27 − 54 + 24 = − 3 27 - 54 + 24 = -3 27 − 54 + 24 = − 3 − - − ( 4 ; + ∞ ) (4; +\infty) ( 4 ; + ∞ ) x = 5 x = 5 x = 5 125 − 150 + 40 = 15 125 - 150 + 40 = 15 125 − 150 + 40 = 15 + + +
Respuesta: C + = ( 0 ; 2 ) ∪ ( 4 ; + ∞ ) C^+ = (0; 2) \cup (4; +\infty) C + = ( 0 ; 2 ) ∪ ( 4 ; + ∞ )
Ejercicio 3
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sea f ( x ) = 5 x + 1 x f(x) = \dfrac{5x + 1}{x} f ( x ) = x 5 x + 1 f − 1 f^{-1} f − 1
Ver solución (sin revisar) Dominio e imagen de f f f Dom ( f ) = R − { 0 } \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{0\} Dom ( f ) = R − { 0 }
f ( x ) = 5 x + 1 x = 5 + 1 x , f(x) = \frac{5x + 1}{x} = 5 + \frac{1}{x} , f ( x ) = x 5 x + 1 = 5 + x 1 , se ve que 1 x \frac{1}{x} x 1 0 0 0 Im ( f ) = R − { 5 } \operatorname{Im}(f) = \mathbb{R} - \{5\} Im ( f ) = R − { 5 } f f f 1 x \frac{1}{x} x 1
La inversa. Despejamos x x x y = 5 x + 1 x y = \dfrac{5x + 1}{x} y = x 5 x + 1 x ≠ 0 x \neq 0 x = 0
y x = 5 x + 1 ⟺ y x − 5 x = 1 ⟺ x ( y − 5 ) = 1 ⟺ x = 1 y − 5 ( y ≠ 5 ) . yx = 5x + 1 \iff yx - 5x = 1 \iff x(y - 5) = 1 \iff x = \frac{1}{y - 5} \quad (y \neq 5) . y x = 5 x + 1 ⟺ y x − 5 x = 1 ⟺ x ( y − 5 ) = 1 ⟺ x = y − 5 1 ( y = 5 ) . Entonces
f − 1 ( x ) = 1 x − 5 . f^{-1}(x) = \frac{1}{x - 5} . f − 1 ( x ) = x − 5 1 . Su dominio es la imagen de f f f Dom ( f − 1 ) = R − { 5 } \operatorname{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R} - \{5\} Dom ( f − 1 ) = R − { 5 }
Verificación: f ( f − 1 ( x ) ) = 5 + 1 1 x − 5 = 5 + ( x − 5 ) = x f\big(f^{-1}(x)\big) = 5 + \dfrac{1}{\frac{1}{x - 5}} = 5 + (x - 5) = x f ( f − 1 ( x ) ) = 5 + x − 5 1 1 = 5 + ( x − 5 ) = x
Respuesta: f − 1 ( x ) = 1 x − 5 f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x - 5} f − 1 ( x ) = x − 5 1 Dom ( f − 1 ) = R − { 5 } \operatorname{Dom}(f^{-1}) = \mathbb{R} - \{5\} Dom ( f − 1 ) = R − { 5 }
Ejercicio 4
Enunciado sin revisar Solución sin revisar IA Reportar un error
Sea f ( x ) = sen ( x ) − 1 f(x) = \operatorname{sen}(x) - 1 f ( x ) = sen ( x ) − 1 f f f [ − 3 π ; 3 π ] [-3\pi; 3\pi] [ − 3 π ; 3 π ]
Ver solución (sin revisar) La ecuación.
f ( x ) = 0 ⟺ sen ( x ) − 1 = 0 ⟺ sen ( x ) = 1. f(x) = 0 \iff \operatorname{sen}(x) - 1 = 0 \iff \operatorname{sen}(x) = 1 . f ( x ) = 0 ⟺ sen ( x ) − 1 = 0 ⟺ sen ( x ) = 1. En una vuelta [ 0 ; 2 π ) [0; 2\pi) [ 0 ; 2 π ) 1 1 1 x = π 2 x = \dfrac{\pi}{2} x = 2 π 2 π 2\pi 2 π
x = π 2 + 2 k π , k ∈ Z . x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi , \qquad k \in \mathbb{Z} . x = 2 π + 2 k π , k ∈ Z . Las que caen en [ − 3 π ; 3 π ] [-3\pi; 3\pi] [ − 3 π ; 3 π ] Pedimos
− 3 π ≤ π 2 + 2 k π ≤ 3 π ⟺ − 3 ≤ 1 2 + 2 k ≤ 3 ⟺ − 7 2 ≤ 2 k ≤ 5 2 ⟺ − 7 4 ≤ k ≤ 5 4 . -3\pi \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 3\pi \iff -3 \leq \frac{1}{2} + 2k \leq 3 \iff -\frac{7}{2} \leq 2k \leq \frac{5}{2} \iff -\frac{7}{4} \leq k \leq \frac{5}{4} . − 3 π ≤ 2 π + 2 k π ≤ 3 π ⟺ − 3 ≤ 2 1 + 2 k ≤ 3 ⟺ − 2 7 ≤ 2 k ≤ 2 5 ⟺ − 4 7 ≤ k ≤ 4 5 . Los enteros en ese rango son k = − 1 , 0 , 1 k = -1, 0, 1 k = − 1 , 0 , 1
k = − 1 k = -1 k = − 1 x = π 2 − 2 π = − 3 π 2 x = \dfrac{\pi}{2} - 2\pi = -\dfrac{3\pi}{2} x = 2 π − 2 π = − 2 3 π k = 0 k = 0 k = 0 x = π 2 x = \dfrac{\pi}{2} x = 2 π k = 1 k = 1 k = 1 x = π 2 + 2 π = 5 π 2 x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{2} x = 2 π + 2 π = 2 5 π Respuesta: C 0 = { − 3 π 2 ; π 2 ; 5 π 2 } C^0 = \left\{ -\dfrac{3\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{2} \right\} C 0 = { − 2 3 π ; 2 π ; 2 5 π }