Ejercicio 1
Enunciado revisado Solución revisada IA Reportar un error
Calcular lim n → + ∞ ( 4 n − ( 12 n 2 − 3 n + 2 ) 3 n ) 5 n \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( 4n - \frac{(12n^2 - 3n + 2)}{3n} \right)^{5n} n → + ∞ lim ( 4 n − 3 n ( 12 n 2 − 3 n + 2 ) ) 5 n
Ver solución Primero simplificamos la base sacando común denominador:
4 n − 12 n 2 − 3 n + 2 3 n = 12 n 2 − ( 12 n 2 − 3 n + 2 ) 3 n = 3 n − 2 3 n = 1 − 2 3 n . 4n - \frac{12n^2 - 3n + 2}{3n} = \frac{12n^2 - (12n^2 - 3n + 2)}{3n} = \frac{3n - 2}{3n} = 1 - \frac{2}{3n}. 4 n − 3 n 12 n 2 − 3 n + 2 = 3 n 12 n 2 − ( 12 n 2 − 3 n + 2 ) = 3 n 3 n − 2 = 1 − 3 n 2 . La base tiende a 1 1 1 + ∞ +\infty + ∞ 1 ∞ 1^\infty 1 ∞
( 1 − 2 3 n ) 5 n = [ ( 1 + 1 − 3 n 2 ) − 3 n 2 ] − 2 3 n ⋅ 5 n . \left( 1 - \frac{2}{3n} \right)^{5n} = \left[ \left( 1 + \frac{1}{-\frac{3n}{2}} \right)^{-\frac{3n}{2}} \right]^{-\frac{2}{3n} \cdot 5n}. ( 1 − 3 n 2 ) 5 n = [ ( 1 + − 2 3 n 1 ) − 2 3 n ] − 3 n 2 ⋅ 5 n . Lo del corchete tiende a e e e − 10 n 3 n = − 10 3 -\frac{10n}{3n} = -\frac{10}{3} − 3 n 10 n = − 3 10
lim n → + ∞ ( 4 n − 12 n 2 − 3 n + 2 3 n ) 5 n = e − 10 / 3 . \lim_{n \to +\infty} \left( 4n - \frac{12n^2 - 3n + 2}{3n} \right)^{5n} = e^{-10/3}. n → + ∞ lim ( 4 n − 3 n 12 n 2 − 3 n + 2 ) 5 n = e − 10/3 . Ejercicio 2
Enunciado revisado Solución revisada IA Reportar un error
Sea
f ( x ) = { sen ( x − 6 ) 3 x − 18 si x > 6 , x + k si x ≤ 6. f(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen}(x - 6)}{3x - 18} & \text{si } x > 6, \\[2ex] x + k & \text{si } x \leq 6. \end{cases} f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x − 18 sen ( x − 6 ) x + k si x > 6 , si x ≤ 6. Hallar k ∈ R k \in \mathbb{R} k ∈ R f f f x = 6 x = 6 x = 6
Ver solución Para que f f f 6 6 6 f ( 6 ) = 6 + k f(6) = 6 + k f ( 6 ) = 6 + k
Por izquierda (x ≤ 6 x \leq 6 x ≤ 6 lim x → 6 − ( x + k ) = 6 + k \displaystyle \lim_{x \to 6^-} (x + k) = 6 + k x → 6 − lim ( x + k ) = 6 + k
Por derecha (x > 6 x > 6 x > 6 3 3 3 u = x − 6 → 0 u = x - 6 \to 0 u = x − 6 → 0
lim x → 6 + sen ( x − 6 ) 3 ( x − 6 ) = 1 3 lim u → 0 sen ( u ) u = 1 3 . \lim_{x \to 6^+} \frac{\operatorname{sen}(x - 6)}{3(x - 6)} = \frac{1}{3} \lim_{u \to 0} \frac{\operatorname{sen}(u)}{u} = \frac{1}{3}. x → 6 + lim 3 ( x − 6 ) sen ( x − 6 ) = 3 1 u → 0 lim u sen ( u ) = 3 1 . Igualamos: 6 + k = 1 3 6 + k = \frac{1}{3} 6 + k = 3 1
k = 1 3 − 6 = − 17 3 . k = \frac{1}{3} - 6 = -\frac{17}{3}. k = 3 1 − 6 = − 3 17 . Ejercicio 3
Enunciado revisado Solución revisada IA Reportar un error
Determinar el dominio y la imagen de la función f ( x ) = x 75 − x f(x) = x\sqrt{75 - x} f ( x ) = x 75 − x
Ver solución Dominio. La raíz pide 75 − x ≥ 0 75 - x \geq 0 75 − x ≥ 0 x ≤ 75 x \leq 75 x ≤ 75 Dom ( f ) = ( − ∞ , 75 ] \operatorname{Dom}(f) = (-\infty, 75] Dom ( f ) = ( − ∞ , 75 ]
Imagen. Derivamos (para x < 75 x < 75 x < 75
f ′ ( x ) = 75 − x + x ⋅ − 1 2 75 − x = 2 ( 75 − x ) − x 2 75 − x = 150 − 3 x 2 75 − x . f'(x) = \sqrt{75 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{75 - x}} = \frac{2(75 - x) - x}{2\sqrt{75 - x}} = \frac{150 - 3x}{2\sqrt{75 - x}}. f ′ ( x ) = 75 − x + x ⋅ 2 75 − x − 1 = 2 75 − x 2 ( 75 − x ) − x = 2 75 − x 150 − 3 x . f ′ ( x ) = 0 ⟺ x = 50 f'(x) = 0 \iff x = 50 f ′ ( x ) = 0 ⟺ x = 50 x < 50 x < 50 x < 50 f ′ > 0 f' > 0 f ′ > 0 f f f 50 < x < 75 50 < x < 75 50 < x < 75 f ′ < 0 f' < 0 f ′ < 0 f f f x = 50 x = 50 x = 50
f ( 50 ) = 50 25 = 250. f(50) = 50\sqrt{25} = 250. f ( 50 ) = 50 25 = 250. Además:
f ( 75 ) = 75 ⋅ 0 = 0 f(75) = 75 \cdot 0 = 0 f ( 75 ) = 75 ⋅ 0 = 0 lim x → − ∞ x 75 − x = − ∞ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x\sqrt{75 - x} = -\infty x → − ∞ lim x 75 − x = − ∞ − ∞ -\infty − ∞ + ∞ +\infty + ∞ Como f f f ( − ∞ , 50 ] (-\infty, 50] ( − ∞ , 50 ] − ∞ -\infty − ∞ 250 250 250 ( − ∞ , 250 ] (-\infty, 250] ( − ∞ , 250 ] [ 50 , 75 ] [50, 75] [ 50 , 75 ] 0 0 0 250 250 250
Im ( f ) = ( − ∞ , 250 ] . \operatorname{Im}(f) = (-\infty, 250]. Im ( f ) = ( − ∞ , 250 ] . Ejercicio 4
Enunciado revisado Solución revisada IA Reportar un error
Sea f : [ − 2 , 10 ] → R f : [-2, 10] \to \mathbb{R} f : [ − 2 , 10 ] → R f ( x ) = 7 x x 2 + 49 f(x) = \dfrac{7x}{x^2 + 49} f ( x ) = x 2 + 49 7 x f f f [ − 2 , 10 ] [-2, 10] [ − 2 , 10 ]
Ver solución f f f [ − 2 , 10 ] [-2, 10] [ − 2 , 10 ]
Derivada (regla del cociente):
f ′ ( x ) = 7 ( x 2 + 49 ) − 7 x ⋅ 2 x ( x 2 + 49 ) 2 = 7 ( 49 − x 2 ) ( x 2 + 49 ) 2 . f'(x) = \frac{7(x^2 + 49) - 7x \cdot 2x}{(x^2 + 49)^2} = \frac{7(49 - x^2)}{(x^2 + 49)^2}. f ′ ( x ) = ( x 2 + 49 ) 2 7 ( x 2 + 49 ) − 7 x ⋅ 2 x = ( x 2 + 49 ) 2 7 ( 49 − x 2 ) . f ′ ( x ) = 0 ⟺ x = 7 f'(x) = 0 \iff x = 7 f ′ ( x ) = 0 ⟺ x = 7 x = − 7 x = -7 x = − 7 x = 7 x = 7 x = 7 [ − 2 , 10 ] [-2, 10] [ − 2 , 10 ]
Evaluamos:
f ( − 2 ) = − 14 4 + 49 = − 14 53 ≈ − 0,264 , f ( 7 ) = 49 49 + 49 = 1 2 , f ( 10 ) = 70 100 + 49 = 70 149 ≈ 0,470. \begin{aligned}
f(-2) &= \frac{-14}{4 + 49} = -\frac{14}{53} \approx -0{,}264, \\
f(7) &= \frac{49}{49 + 49} = \frac{1}{2}, \\
f(10) &= \frac{70}{100 + 49} = \frac{70}{149} \approx 0{,}470.
\end{aligned} f ( − 2 ) f ( 7 ) f ( 10 ) = 4 + 49 − 14 = − 53 14 ≈ − 0 , 264 , = 49 + 49 49 = 2 1 , = 100 + 49 70 = 149 70 ≈ 0 , 470.
El máximo absoluto es 1 2 \frac{1}{2} 2 1 x = 7 x = 7 x = 7
El mínimo absoluto es − 14 53 -\frac{14}{53} − 53 14 x = − 2 x = -2 x = − 2